EL SORPRENDENTE DESCUBRIMIENTO DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS:

EL SORPRENDENTE DESCUBRIMIENTO DE  LAS  GEOMETRÍAS  NO EUCLIDIANAS:

A pesar del intento de Euclides de axiomatizar la geometría, a los matemáticos les costó 2000 años llegar a conclusiones expresadas en la observación anterior, y abandonar la intuición que les aseguraba que la geometría euclidiana era evidentemente la geometría del universo en que vivimos.

El primer paso significativo fue dado por un matemático italiano llamado Girolamo Saccheri en 1773, público un trabajo en dos volúmenes titulado Euclides libre de todo

defecto. En ese libro trato de establecer el quinto postulado mostrando su negación conducía a una contradicción.

Dados una línea y un punto exterior a la misma, hay tres posibilidades en cuanto al número de líneas paralelas trazadas por el punto:

La posibilidad 1 es el quinto postulado de Euclides. Saccheri se dispuso a demostrar que cada uno de las otras posibilidades conduce a una contradicción. Suponiendo que el segundo postulado de Euclides requiera que las líneas rectas sean infinitamente largas, halló que la posibilidad 2 lleva a una contradicción. Tuvo menos éxito al tratar de eliminar la posibilidad 3. Obtuvo varias consecuencias a partir de las declaraciones 3 que eran contrarias a la intuición, pero no fue capaz de derivar a una contradicción formal.

Cien años más tarde, cuatro matemáticos distintos, trabajando independientemente, intentaron el mismo enfoque. Pero adoptaron un paso adicional clave que su predecesor omitió; consiguieron liberarse de la creencia que existe solamente una geometría, la que descansa en el quinto postulado.

Gauss fue el primero de ellos.  Trabajando con una formulación equivalente a la posibilidad 3, según la cual la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es menor que los ángulos rectos, se dio cuenta de que la posibilidad 3 no conduce probablemente a una inconsistencia, sino más bien a una extraña geometría alternativa, una geometría no euclidiana. No se sabe exactamente cuándo llevó a cabo Gauss este trabajo, puesto que no lo publicó. La primera que tenemos proviene de una carta privada escrita en 1824 a un colega, Franz Taurinus, en la que dice: “La suposición de que la suma de tres ángulos es menor que 180° conduce a una curiosidad geométrica, completamente  distinta  de  la  nuestra pero  del  todo consistente, que he desarrollado a mi entera satisfacción”. (Delvin. K: 2002)

En otra carta, escrita en 1829, deja claro que su razón para no publicar sus hallazgos es su miedo de que ello pudiera dañar su gran reputación si le pudiera recordar como el que afirmó que la geometría euclidiana no era la única posible.

Las personas de mayor éxito están expuestas a tales presiones. Esas coacciones no pusieron trabas a János Bolyai, un joven oficial artillero húngaro cuyo padre, amigo de Gauss, había trabajado también por su cuenta sobre el axioma de las paralelas. Aunque Bolyai padre había aconsejado a su hijo que no perdiera el tiempo en el problema, János no hizo caso, y fue capaz de dar el gran paso que su padre no pudo llevar a cabo. Al igual que había hecho Gauss, reconoció que la posibilidad 3 no lleva a ninguna inconsistencia sino a una geometría completamente nueva. Cuando en 1832 se publicó el trabajo de János como un apéndice a un libro de su padre, Gauss informó a los dos de sus propias observaciones anteriores acerca del asunto.

Tristemente para Bolyai, no solo lo había batido a Gauss con la idea que nunca fue reconocido ampliamente en vida por su obra, pero resulto que tampoco había sido el primero en publicar sobre la nueva geometría no euclidiana. Tres años antes en 1829, Nikolai Lobachevsky, un profesor de la universidad de Kazan de Rusia, había publicado lo mismos resultados bajo el título de Geometría Imaginaria.

De este modo había dos geometrías: la euclidiana, con sus paralelas únicas, y otra geometría, con múltiples paralelas, conocida actualmente como Geometría Hiperbólica

El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, teorizada inicialmente por Immanuel Kant formalizada posterior e independientemente por varios autores a principios del siglo XIX tales como Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai y Ferdinand Schweickard.

Esas posibles geometrías que Kant entrevé son las que hoy se llaman geometrías euclidianas de dimensión mayor que 3.

Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro de Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas (las paralelas) no se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción mental un tanto abstracta. Por geometrías coherentes diferentes de la euclídea. Se había descubierto así la primera geometría no euclídea (en eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, se intentó demostrarlo por reducción al absurdo, suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos de llegar a un

absurdo se encontró que existían concreto el primer ejemplo que se logró era una geometría llamada hiperbólica). (Delvin. K 2002)

Geometría hiperbólica:

A principios del siglo XIX, y de modo independiente, Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai y Ferdinand Schweickard lograron construir la geometría hiperbólica, a partir del intento de negar el quinto postulado de Euclides y tratar de obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometría en la que los tres ángulos de un triángulo sumaban menos de 180º sexagesimales (en la geometría euclídea los ángulos de cualquier  triángulo suman siempre exactamente 180º).

La naturalidad de esta geometría quedó confirmada a finales del siglo, cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie y Klein dio la interpretación proyectiva de la geometría hiperbólica. Ambos resultados prueban que es tan consistente como la Geometría euclídea (es decir, si la geometría hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la geometría euclídea también).

Algunos afirman que Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo no fuera la euclídea. Sabiendo que en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento. Sin embargo, otros afirman que cuando escribió que trataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se refería a corregir el efecto de la curvatura terrestre en los estudios cartográficos que estaba realizando.

La geometría elíptica es el segundo tipo de geometría no-euclídea homogénea, es decir, donde cualquier punto del espacio resulta indistinguible de cualquier otro. Una variedad   de   Riemann   de   curvatura   positiva constante es un ejemplo de geometría elíptica. Un modelo clásico de geometría elíptica n- dimensional es la n-esfera.

En  la  geometría  elíptica  las  líneas  geodésicas tienen un papel similar a las líneas rectas de la geometría   euclídea,   con   algunas   importantes diferencias.  Si  bien  la  mínima  distancia  posible entre   dos   puntos   viene   dada   por   una   línea geodésica, que además son líneas de curvatura mínima, el quinto postulado de Euclídes no es válido para la geometría elíptica,  ya que dada una "recta" de esta geometría (es decir, una línea

La esfera es un modelo de geometría elíptica bidimensional, los meridianos resultan ser líneas geodésicas mientras que los paralelos son líneas de curvatura no mínima.

geodésica) y un punto no contenido en la misma no se puede trazar ninguna geodésica que no corte a la primera.

Geometría euclídea

La geometría euclídea es claramente un caso límite intermedio entre la geometría elíptica y la geometría hiperbólica. De hecho la geometría euclídea es una geometría de curvatura nula. Puede demostrarse que cualquier espacio geométrico o variedad de Riemann cuya curvatura es nula es localmente isométrico al espacio euclídeo y por tanto es un espacio euclídeo o idéntico a una porción del mismo.

Geometría Riemanniana general

A propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre la hipótesis de la Geometría. En su tesis, Riemann considera las posibles geometrías que infinitesimalmente (i.e. en regiones muy pequeñas) sean euclídeas, cuyo estudio se conoce hoy en día como geometrías riemannianas. Estas geometrías resultan en general no-homogéneas: algunas de las propiedades del espacio pueden diferir de un punto a otro, en particular el valor de la curvatura.

Para el estudio de estas geometrías Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura  y  demostró  que  la  geometría  euclídea,  la  geometría  hiperbólica  y  la

geometría elíptica son casos particulares de geometrías riemannianas, caracterizadas por valores constantes del tensor de curvatura. En una geometría riemanniana general, el tensor de curvatura tendrá valores variables a lo largo de diferentes puntos de dicha geometría.

Eso hace que la geometría no sea homogénea, y permite distinguir unos puntos de otros. Esto es relevante en la teoría de la relatividad general, ya que en principio es posible hacer experimentos de medición de distancias y ángulos que permitan distinguir unos puntos del espacio de otros, tal como especifican numerosos experimentos mentales imaginados por Einstein y otros en los que un experimentador encerrado en una caja puede realizar experimentos para decidir la naturaleza del espacio-tiempo que le rodea.

Finalmente un aspecto interesante de la geometría riemanniana es que si la curvatura no es constante entonces el grupo de isometría del espacio tiene dimensión estrictamente menor que         siendo    la dimensión del espacio. En concreto según la relatividad general un espacio-tiempo con una distribución muy irregular de la materia podría tener un grupo de isometría trivial de dimensión 0.

Geometría del espacio-tiempo y teoría de la relatividad

Basándose en la idea y resultados de Riemann, hacia 1920 Einstein aborda en su Teoría de la Relatividad general la cuestión de la estructura geométrica del Universo. En ella muestra cómo la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura, que es precisamente lo que se observa como campo gravitatorio, y cómo, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las líneas más rectas posibles dentro de dicha geometría, líneas que se denominan geodésicas.

Además, la Ecuación de Einstein afirma que para cada observador, la curvatura media del espacio coincide, salvo un factor constante, con la densidad observada, dando cumplimiento así a la fantástica visión de Gauss: la geometría desentrañada por los griegos es la estructura infinitesimal del espacio; al generalizar dicha estructura geométrica, tiene curvatura.