EL DESARROLLO DE LA MATEMÁTICA EN LA EDAD ANTIGUA
Tales de Mileto (624 a.C – 546
a.C)
Nace en Mileto, Asia
Menor. Tales fue un filósofo griego, estadista, matemático, astrónomo e ingeniero. Según se señala en los escritos
conservados, Tales habría demostrado teoremas geométricos sobre la base de definiciones y premisas
con ayuda de reflexiones sobre la simetría. Tales aspiraba a encontrar
una explicación racional
del universo. El teorema de Tales
se llama
así
en su honor.
Pitágoras de Samos (570 a.C – 510 a.C)
Filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho
en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido
en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse
de Samos por su aversión
a la tiranía
de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló
en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía
de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus
discípulos. El denominado teorema de Pitágoras, llamado así por Euclides, ya era conocido con mucha anterioridad a Pitágoras.
Carl B. Boyer (2007), considera, por ejemplo, que los pitagóricos fueron los que llevaron al culto de los números a un extremo. Sin embargo, antes que ellos ya algunas otras culturas mostraron reverencia mística a los números.
En Egipto, probablemente, porque siete eran las estrellas errantes o planetas
conocidos en su época, consideraban al siete como un número al que le otorgaban reverencia; y por ello consideraron que la semana debería tener siete días y el nombre de cada día hicieron derivar del
nombre de las estrellas
errantes.
Para los pitagóricos (Siglo VI a.C) “... el número uno es el generador de los números y el número de la razón; el número dos es el primer número par o hembra y el número de la opinión;
tres es el primer número macho propiamente dicho y el número
de la armonía, estando
compuesto como lo
está de la unidad y
de la diversidad; cuatro es
el número
de la
justicia o de
la retribución, e indica
el arreglo
de las
cuentas; cinco es el
número del matrimonio, unión
de los dos primeros números macho y hembra propiamente dichos; y seis es el número de la creación.
Cada número, a su vez, tenía sus propiedades especiales, pero el más sagrado de todos era el diez o tetractis, ya que representaba el número del universo, incluyendo la suma de todas las posibles dimensiones geométricas”.
Pues, un
punto es el generador de todas las dimensiones conocidas por los griegos, dos puntos determinan una recta de dimensión uno, tres puntos no alineados originan un triángulo que posee área que es de dimensión dos; cuatro puntos no coplanares determinan un
tetraedro o volumen de dimensión tres, y la suma de los números
que representan a todas las dimensiones
es el
tetractis. (Boyer. 2007).
Es importante destacar, que en los griegos encontramos una razón de carácter no referidos a la anatomía de los dedos de la mano para hacer una a la importancia del diez, como base de un sistema de numeración, consecuentemente distinta de la justificación que aún se hace sobre la selección
del número diez como base de los sistemas de
numeración creados por diferentes culturas.
Otra propiedad interesante del tetractis
es
la relación: 1 + 2 + 3 + 4 = 10;
pero 13 + 23 + 33 + 43 = 102
Probablemente, por su familiaridad más con la geometría, clasificaron a los números
con criterios geométricos, fundamentalmente, ayudados por su configuración. Así consideraron
que existían números
triangulares por el
diseño triangular que representa el tetractis
y algunos otros números.
Se le adjudica a Pitágoras
el descubrimiento de las leyes de los intervalos musicales regulares, es decir, las relaciones aritméticas de la escala musical. Diógenes Laercio le atribuye la invención del monocordio, un instrumento musical de una sola cuerda. Ilustra la ley según la cual “la altura del sonido es inversamente proporcional a la longitud
de la cuerda”. Los principios de la música fueron sin duda tan importantes para el sistema pitagórico como los principios matemáticos mismos, o las nociones
sobre “números”. La expresión de la Naturaleza en términos matemáticos - como las proporciones y las razones-
es una idea clave dentro de la filosofía desarrollada por los pitagóricos. “Estos filósofos notaron que los modos de la armonía musical y las relaciones que la componen
se resuelven
con números proporcionales”.
La afinación pitagórica es una gama musical construida sobre intervalos de quintas perfectas de razón 3/2. Las frecuencias pitagóricas de la nota “Do” son las siguientes: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048...
Para los pitagóricos la música poseía además un valor ético y medicinal, “Pitágoras” hacía comenzar la educación por la música, por medio de ciertas melodías y ritmos,
gracias a los cuales sanaba los rasgos
de carácter y las pasiones
de los hombres, atraía la armonía entre las facultades del alma. La idea del orden y de que las relaciones de armonía regulan incluso todo el universo, se encuentran presentes en todo el sistema pitagórico. La armonía del cuerpo y la armonía
del cosmos eran vistas por igual, dentro de un sistema unificador. Platón dirá que música y astronomía
son
“ciencias hermanas”, se hablaba, entonces de “la música planetaria” o “armonía
de las esferas”.
Pitágoras habría establecido que las distancias entre las órbitas del Sol, de la Luna y de las estrellas
fijas corresponden a las proporciones octava, quinta y cuarta,
de “la voz de los siete planetas de la esfera de las estrellas fijas” y de “la esfera encima
nuestro que llamamos Anti-Tierra”, hacía las nueve Musas. Los intervalos (espaciales) entre los cuerpos celestes se disponían
de acuerdo con las leyes y relaciones de la “armonía musical”.
Eudoxo de Cnido (410 ó 408 a.C – 355 ó 347 a.C.)
Con Platón, y sobre todo con Aristóteles los griegos perfeccionaron la técnica de la lógica, que se convirtió
en la herramienta principal del trabajo de los matemáticos, y proclaman
que las ciencias exactas ejercen una influencia educativa sobre la inteligencia.
Los científicos griegos supieron distinguir, la logística o arte del cálculo,
considerada como una técnica inferior y que no debería ser parte de la ciencia;
y la aritmética que es la verdadera ciencia de los números. Eudoxo de Cnido, contemporáneo de Platón era considerado
como un geómetra, un
astrónomo y un aritmético
importante. Clasificó los conceptos de número, longitud, dimensión espacial y temporal
y estableció los fundamentos para la teoría de la proporción. Su teoría de la proporción ya contenía el axioma de Arquímedes o “axioma
de continuidad” y anticipaba resultados del comportamiento de los irracionales. Desarrolló el método de exhaución y se logró determinar el volumen
de algunos
cuerpos geométricos.
Euclides de Alejandría (365 a.C – 300 a.C)
Nació probablemente en Atenas o
en
Alejandría. Euclides intentó establecer la matemática, y especialmente la geometría, sobre fundamentos axiomáticos. En su manual de 13 volúmenes
“Los Elementos” ( Στοιχεῖα) resumió el conocimiento matemático de aquel entonces. La geometría euclidiana o euclídea y el algoritmo
de Euclides son conceptos que se denominan
así en su honor. Sin embargo, no todos los 13 volúmenes
se refieren a la Geometría. Pues, los libros VII, VIII y IX trata sobre teoría de números
y teoría de proporciones, utilizando lo que después se llamaría el álgebra geométrica. El
libro X trata la clasificación de los inconmensurables (que daría origen más adelante a la teoría de los números irracionales). Nuevamente
en
los libros XI, XII y XIII se retoma la geometría, pero esta vez referido a los sólidos
geométricos y fundamentalmente al método de exhaución.
Arquímedes de Siracusa (287 a.C - 212 a.C)
Nació probablemente en Siracusa, Sicilia. Arquímedes fue un matemático, físico e ingeniero
griego, considerado el más importante de los matemáticos de la antigüedad. Demostró que la circunferencia de un círculo mantiene la misma relación respecto de su diámetro
que la superficie del círculo respecto del cuadrado del radio. La relación se denomina
hoy en día con el número pi (π). Además calculó la superficie bajo una parábola. El
principio de Arquímedes se llama así en su
honor.
Apolonio de Perge (262 a.C – 190 a.C)
Nacido en Perge, Alejandría. Su obra más importante fue Κωνικά (Cónicas), donde se trata al estilo griego acerca de las secciones
de un cono, Apolonio de Perge se dedicó a
investigar detenidamente la problemática
de
las secciones cónicas, determinación
de
los extremos y de los límites de una sucesión.
Entre otros, el círculo de Apolonio se denomina así en su honor.
Diofanto de Alejandría (Fechas de nacimiento y muerte desconocidas entre 100 a. C. y 350 a. C.)
Diofanto de Alejandría fue un matemático griego sobre quien se conservan
muy pocos datos biográficos. Sin embargo, se sabe bastante más sobre sus obras, donde la más conocida
es la Aritmética en varios volúmenes. Se dedicó a la búsqueda de soluciones de ecuaciones algebraicas con varias incógnitas. Hoy día se denominan
ecuaciones diofánticas a las
ecuaciones algebraicas para
las
que se busca una solución dentro
del
conjunto de los números enteros. Su obra Números poligonales se conoce y se ha realizado
numerosas traducciones. Existe una versión en español que se puede encontrar
en las librerías. Se le considera
el padre del álgebra.
Herón de Alejandría (Fechas exactas de nacimiento y muerte desconocidas vivió probablemente entre 200 a. C. y 300 a. C.)
Herón de Alejandría fue un destacado matemático e ingeniero
griego. Desarrolló un procedimiento que
lleva su nombre para el cálculo de raíces cuadradas y la fórmula
de Herón, la que permite calcular la superficie de un triángulo conociendo la longitud de sus
lados.
Liu Hui (220-280)
Liu Hui (劉徽) fue un matemático chino. Vivió en el período del reinado Wei y se le conoce por haber escrito una serie acerca de matemáticas para la vida cotidiana. La obra (que consta de nueve libros) se publicó
en el año 263. Entre sus aportes más
Hipatia de Alejandría (370-415)
Hija del matemático y astrónomo Theón de Alejandría, quién fue director
del Museo. La mayoría de los libros fueron textos par la formación de los discípulos, pero también su aportes,
se estima que, se encuentran en las obras de su padre.
Escribió un comentario sobre la Aritmética de Diofanto en 13 libros. Escribió también Sobre la geometría de las cónicas
de Apolonio, en
8 libros. Junto con su padre Theón,
revisó y mejoró los Elementos
de Euclides. Se afirma, que los textos actuales de geometría, se elaboran
con esta versión mejorada.
Hipatia está en el límite entre la edad antigua y la edad media.
Fue martirizada por una turba de fanáticos de mayoría cristina, desde
entonces, Hipatia fue considerada casi que como una santa patrona de las ciencias y su imagen se considera
un símbolo de la defensa de las ciencias, contra la irracionalidad y la estupidez
de las embestidas religiosas, siempre
carentes del mínimo
sentido.
En realidad los conocimientos matemáticos de los griegos, después del incendio de la Biblioteca de Alejandría y la muerte
de
Hipatia entraron en un
período de letargo.
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