ETNOMATEMATICA Y ETNOGEOMETRIA

ETNOMATEMATICA Y ETNOGEOMETRIA

INTRODUCCION

En esta última década la Etnomatemática se ha presentado, como una nueva corriente del saber matemático, intentando rescatar los valores que el pueblo y su cultura tienen. Esta corriente es vista por algunos con cierto escepticismo y por otros como la nueva alternativa para el aprendizaje de la Matemática. Después de leer a los más prominentes impulsores hemos llegado al convencimiento de que tienen razón, pero, nosotros consideramos que antes que la propia Etnomatemática esta la Ethnogeometría como la antesala de la primera.

Para finalizar queremos manifestar que, quizá deberíamos haber puesto énfasis, sólo en esta última parte, como la prueba irrefutable de que para ver la Etnomatemática a profundidad, no se puede ignorar a la Etnogeometría como un primer paso. Es decir, partir del valor cultural que tienen las formas geométricas, para luego ir al valor cultural de la matematización. Sin embargo como la vida continua y ella, está ligada a los problemas no sólo socio-culturales, sino, a los socio-económicos, no podemos quedarnos en el pasado, cuando la realidad del “sistema” nos golpea inmisericordemente.

¿QUÉ ES ETNOMATEMÁTICA?

En el intento de situarnos con el tema mismo de lo que trata la Ethnogeometría, consideramos que debemos ver, qué es Etnomatemática. Aunque hay una lista larga de autores que intentan dar una definición exacta, lo haremos según lo señala el Prof. D’Ambrosio, por ser de los precursores más activos y consecuentes y según el resumen analítico del Prof. neozelandés  Bill Barton.

“Las diferentes formas de matemática que son propias  de los  grupos  culturales, las llamamos de Etnomatemática”

Este es un juicio a fortriori, o actual, pues, los grupos culturales existen y se encuentran por toda la faz de la Tierra. Luego todos los MODOS de MATEMATIZACIÓN que realicen esos grupos culturales para solucionar sus problemas cotidianos, se las puede denominar de ETNOMATEMATICA.

“La ETNOMATEMATICA en mi concepción es etno+matema+tica, eso es, LAS ARTES, TECNICAS,  MANERAS,  ESTILOS  [=TICAS]  de    EXPLICAR,  ENSEÑAR, COMPRENDER, MANEJAR, LIDIAR, "To cope with", "se débrouiller" [=MATEMA] en SU ENTORN NATURAL y CULTURAL [=ETNO]” Ubiratan D'Ambrosio.

Según esta explicación, “ETNO” es el “ENTORNO NATURAL y CULTURAL” del hombre en una forma atemporal, es decir, no se refiere al hombre primitivo en su condición de cazador o recolector, se refiere al hombre de todas las épocas hasta llegar a la actual, en su diario accionar en su contexto circundante y circunstancial.

Si, “MATEMA” está homologada con “LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS, ESTILOS “Tocope with" (para cubrir con o abarcar), sí débrouiller” (manejar o dirigir). Significa que es importante referirse, a todas las formas de expresión o exultación mental y espiritual hechas realidad, abarcando de un modo poético, gráfico, pictórico, petroglífico o folklórico con sus propias modalidades.

“TICAS” es una referencia clara a la metodología, es el cómo trasmitir o compartir, cualquier experiencia (inclusive el MATEMA), con otra(s) persona(s) para que esa(s) persona(s) tenga(n) acceso a un nuevo conocimiento.  En el entendido que ese nuevo conocimiento le permitirá solucionar sus tribulaciones o le causará el placer de lograr sus metas, pese a los factores socio-culturales que puedan influenciarlo positiva o negativamente.

El mismo creador del concepto antes interpretado y según Eduardo Sebastiani Ferreira dirá que la Matemática es una parte de la Etnomatemática colocada así:

EDUCACIÓN        ETNOMATEMÁTICA         MATEMÁTICA

donde, dentro de la Educación, “la Matemática se constituiría en una parte de la Etnomatemática”, por tanto para aprender Matemática invariablemente se debe pasar por Etnomatemática.
Al parecer Bill Barton, se preocupa más con esto último y él, después de estudiar a los autores citados en su trabajo, aunque observa que D’Ambrosio se ubica más en la dimensión socio-antropológica, considera que son cuatro, los términos críticos para la definición: Matemática, Matemático, Nosotros y Cultura.

"La Matemática son los conceptos y las prácticas en el trabajo de esa gente quiénes se llaman a sí mismos matemáticos."

"El Matemático se refiere a esos conceptos y a las prácticas, que se identifican como si estuvieran relacionadas en alguna manera a la Matemática".

“ El matemático y la Matemática ambos son culturalmente específicos porque sus referentes dependen de quiénes usan los términos. Es posible, que por ejemplo, que algunos matemáticos disientan sobre lo qué es legítimamente Matemática.”

“En el "nosotros", usamos la definición como un grupo, quienes comparten una comprensión de Matemática y quienes están interesados en Etnomatemática. Que el grupo incluirá comúnmente matemáticos, quienes  toman su propia  definición, pero incluirán también a otros, quienes han experimentado Matemática como una categoría en su educación propia. Cuando una Cultura étnica diferente, anda implicada con el "nosotros", nos referimos a los miembros de una cultura, que contiene la categoría de matemáticos. El uso puntual del pronombre hace que el etnomatemático tenga un punto de vista particular”

“Cultura se toma para tener el significado usado por D'Ambrosio, que se refiere al grupo de gente quien "desarrolló prácticas, conocimiento, y, en particular, jergas y códigos, que claramente comprende la manera como ellos matematizan, es decir: es la manera que ellos cuentan, miden, relacionan y clasifican, e infieren" (D'Ambrosio 1984). Tal grupo puede ser un grupo étnico, un grupo nacional, un grupo histórico, o un grupo social dentro de una cultura más amplia. La Cultura refiere al conjunto compartido identificable de comunicaciones, comprensión y prácticas. No es necesaria la definición de Etnomatemática si el conjunto es descriptible con exactitud.”

Habiendo definido los términos, hay cuatro de implicaciones de la definición:

a)  Etnomatemática no es un estudio matemático; es más como la antropología o historia;

b)   La  definición  en  sí  misma  depende  de  quien  lo  afirma,  y  culturalmente  es específico;

c)   La práctica que describe es también culturalmente específica; 
d)Etnomatemática implica alguna forma de relativismo para la Matemática”.

Analizar estas cuatro implicaciones, equivaldría a elaborar un tratamiento específico sólo de la Etnomatemática y ese no es nuestro objetivo por ahora.

Desde nuestra visión "Etnomatemática no es Matemática, es la matemática del pueblo como el conjunto de conocimientos matemáticos, prácticos y teóricos, producidos o asimilados y vigentes en su respectivo contexto sociocultural, que supone los procesos de: contar, clasificar, ordenar, calcular, medir, organizar el espacio y el tiempo, estimar e inferir."

Etnomatemática es el camino para aprender Matemática" como el conjunto de los conocimientos matemáticos de la comunidad del aprendiz, relacionados con su cosmovisión e historia, fundamentalmente comprende:

-  El sistema de numeración propio.

-  Las formas geométricas que se usan en la comunidad.

-  Unidades  o  sistemas  de  medida  utilizadas  local  o  regionalmente  (tiempo,  capacidad, longitud,    superficie,   volumen).

-  Instrumentos y técnicas de cálculo, medición y estimación; procedimientos de inferencia; otros  conceptos, técnicas e    instrumentos matemáticos usuales.

-  Las expresiones lingüísticas y simbólicas correspondientes a los conceptos, técnicas, e instrumentos matemáticos."

Dentro del debate internacional que se ocupa de la relación entre matemática y cultura, existen dos posiciones dominantes, ambas abarcadas dentro del término etnomatemática. La primera posición entiende por etnomatemática a las matemáticas de los diferentes pueblos indígenas (Ascher 1991); y la otra posición entiende por etnomatemática a toda forma de la matemática cotidiana (D´Ambrosio 1990). Ambas posiciones aportan importantes aspectos para la conceptualización y la realización de la enseñanza de la matemática dentro del enfoque de la interculturalidad, tanto para el trabajo escolar en los contextos rurales e indígenas como para la realización de la enseñanza matemática relacionada con cualquiera situación cotidiana en los contextos urbanos, populares e informales. Veamos la definición de la etnomatemática:

“La etnomatemática revaloriza el bagaje de conocimientos, expresiones, formas de pensar, conceptos y formas de hacer matemática (procesos) propios de las culturas originarias. En el campo de la etnomatemática hay mucho que investigar y descubrir. Esta búsqueda se puede realizar en todos los componentes de la matemática, en las formas e instrumentos que se utilizan para la representación, la civilización y la construcción de los números, estrategias utilizadas para las operaciones; formas de representación de cantidades de personas, animales, etc.

La adaptación de los contenidos y métodos de la matemática escolar a un contexto cultural específico usualmente abarca por lo tanto una amplia gama de aspectos:

·      Aspecto sociocultural: Las formas usadas en medidas y pesos, la medición del tiempo y el

entendimiento de éste, la forma en la que se percibe el espacio y la distribución del espacio, la función del cálculo en la vida cotidiana;

·      Aspecto lingüístico: La construcción de conceptos numéricos y de palabras para designar los números, la terminología matemática, el vocabulario utilizado para las medidas de masa y peso, etc.;

·      Aspecto semiótico: La representación de cantidades en forma gráfica, icónica y numérica; la organización del tiempo y del espacio;

·      Aspecto aritmético y geométrico: la forma de los números (conjuntos, series, rangos), los

métodos de apoyo para la representación de cantidades, los algoritmos de las operaciones matemáticas, las formas de percepción y reconstrucción de perspectivas;

·      Aspecto de conceptualización: Teoría numérica, prototeorías matemáticas, el desarrollo científico de sistemas matemáticos, entre otros.

Para que el maestro o la maestra puedan desarrollar una enseñanza de la matemática a partir de las experiencias y los conocimientos previos de los estudiantes es necesario acercarse detalladamente a esa cultura matemática propia de los estudiantes y de su contexto social. Entonces, es sumamente importante acercarse sistemáticamente a la etnomatemática existente en el saber popular e indígena como en la práctica cotidiana de los niños, niñas y adultos.

Acercarse a una práctica cotidiana y a los conocimientos que tienen una persona o un grupo social y étnico es un trabajo de investigación que se orienta hacia el trabajo educativo. Lo que necesitamos es un estudio detallado y sistemático de la cultura numérica y matemática en la cual nuestros estudiantes están y serán socializados.

ANTECEDENTES EN EL PERU

Nuestro país Perú es un país cuya realidad compleja se caracteriza por su diversidad. Expresiones de esta diversidad son su diversidad geográfica y su biodiversidad, y en relación con estas su multilingüismo y pluriculturalidad. Según la información de los últimos censos nacionales realizados en el año 2007 y documentos de la Dirección de Educación Intercultural Bilingüe del Ministerio de Educación, actualmente coexisten en Perú hablantes de 54 lenguas que pertenecen a 16 familias lingüísticas, siendo la lengua originaria mayoritaria el Quechua en sus variedades Cusco-Collao y Ayacucho-Chanka. Teniendo como premisa el reconocimiento de la compleja diversidad de la realidad peruana, sobre todo desde inicios de los 70‟ y en el marco de proyectos experimentales de educación bilingüe, se empezó a buscar respuestas de tipo pedagógico que permitieran tener en cuenta no solamente la diversidad lingüística sino también la diversidad sociocultural en Perú, con la perspectiva de brindar una educación pertinente a los estudiantes cuya lengua y cultura son originarias. En el siglo XXI, se ha reforzado la línea de atención a la diversidad en las políticas educativas oficiales, en concordancia con la Declaración Universal de la UNESCO sobre la diversidad cultural, adoptada el 2 de noviembre de 2001. En efecto, en el primer artículo de esta Declaración se manifiesta que la diversidad cultural es patrimonio común de la humanidad: “La cultura adquiere formas diversas a través del tiempo y del espacio. Esta diversidad se manifiesta en la originalidad y la pluralidad de las identidades que caracterizan a los grupos y las sociedades que componen la humanidad. Fuente de intercambios, de innovación y de creatividad, la diversidad cultural es tan necesaria para el género humano como la diversidad biológica para los organismos vivos. En este sentido, constituye el patrimonio común  de la humanidad  y  debe ser reconocida  y  consolidada en beneficio de las generaciones presentes y futuras”. El concepto de diversidad cultural, así como el de biodiversidad, va más lejos en el sentido de que considera la multiplicidad de las culturas en una perspectiva sistémica donde cada cultura se desarrolla y evoluciona en contacto con las otras culturas.

MATEMÁTICA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA CON ENFOQUE INTERCULTURAL Y BILINGÜE

Todo grupo social, desde los albores de la humanidad, procedieron a matematizar su realidad material y social, por lo que conceptualizaron de acuerdo a su utilidad o en la búsqueda de soluciones a sus necesidades. Por ejemplo para los griegos era la ciencia de la cantidad y del espacio y Aristóteles lo reafirma mencionando que “es la ciencia de la cantidad”. Para René Descartes es “la ciencia del orden y la medida”. Carl Gauss dice: “es la reina de las ciencias”. Bertrand Russell afirma “es la ciencia en la que nunca se sabe de qué se habla ni si lo que se dice es cierto”. Federico Engels dijo: “es la ciencia que estudia las formas espaciales y las relaciones cuantitativas del mundo material”. Hoy en día surge la denominada matemática universal, para designar a la matemática surgida a partir de la sistematización de varias matemáticas de distintas sociedades, entonces es conceptualizado como: “… la matemática es un sistema de conocimientos científicos integrado por conceptos no definidos, axiomas, definiciones, reglas de deducción, operaciones y teoremas”. (“Educación Matemática”, (2008), de César F. Solís Lavado. Pág. 12).

A fines del S. XX, surge la preocupación sobre la Educación Matemática, como una actividad científica y parte de la cultura, que se transmite de generación en generación. Tenemos los siguientes alcances al respecto:

·         Echevarría, 1995: “La educación matemática tiene los rasgos epistémicos básicos de una actividad científica, ya que inicia y desarrolla en los jóvenes sus capacidades para explicar, predecir y controlar fenómenos naturales, físicos y sociales mediante el dominio de familias de procedimientos convencionales y de estructuras formales. descubrimiento y creación son núcleos del conocimiento y de la educación matemática”.

·         Luis Rico, Sierra y Castro (1999): “desde nuestra posición, la educación matemática se propone intervenir en la sociedad mediante la identificación, planteamiento, tratamiento y resolución de los problemas que surgen en el sistema educativo conectados con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Mediante el conocimiento fundado de tales problemas la educación matemática se propone transformar la sociedad”.

·           Luis Rico Romero, menciona tres niveles de interpretación en la educación matemática:

1º. La educación matemática como conjunto de conocimientos, artes, destrezas, lenguajes, convenciones, actitudes y valores, centrados en la matemática y que se transmite intencionalmente por medio del sistema educativo.

2º. La educación matemática como conjunto de procesos implicados en la enseñanza y aprendizaje de la matemática.

3º. La educación matemática como disciplina que estudia los problemas que surgen durante los procesos de organización, comunicación, transmisión, construcción y valoración del conocimiento matemático.

Pero, la educación matemática no debe darse como la transmisión de conocimientos que cae en la homogenización cultural, porque el quehacer matemático es una actividad intelectual y social y se da en un contexto cultural por lo que supone una interacción con otras personas y múltiples instrumentos, en un marco histórico determinado.

Una visión amplia de la construcción del conocimiento matemático por los individuos incluye procesos como contar, clasificar, ordenar, inferir, deducir, modelar, etc. Estos procesos son realizados por grupos sociales y culturales específicos con sus  códigos,  símbolos, jergas, mitos que conforman su manera peculiar de razonar. Esta consideración es precisamente uno de los aspectos fundamentales que investiga la denominada etnomatemática, disciplina que recién de la década del 80 viene configurándose y recibiendo la atención de quienes tienen en sus manos la educación matemática; aunque, desde mucho antes, desde la antropología y otras ciencias sociales ya se solían presentar los usos peculiares de la matemática en los grupos aborígenes.

La otra gran área de investigación de la etnomatemática es la de las actividades matemáticas en situaciones cotidianas dentro de las culturas, y es que hay mucho que aprender sobre la práctica de esta ciencia en el contexto de la vida diaria. Su manejo nos sería de gran ayuda para mejorar el aprendizaje escolar, al plantear la gran distancia que existe entre la práctica matemática en situaciones comunes de la vida y las que se plantean en las escuelas y colegios. “Etnomatemática” es un modelo de pensamiento que atiende al multiculturalismo, reivindicando también la dignidad de los pueblos vernáculos.

Entonces, es necesario poner en práctica y/o tener en cuenta que la educación matemática debe enfocarse desde un punto de vista intercultural y bilingüe que nos permita comprender la etnomatemática andina y las raíces culturales del conocimiento matemático que se da en el contexto rural y realizar el quehacer educativo en quechua

¿QUÉ ES LA ETHNOGEOMETRÍA?

Al tratar de transmitir la importancia de las ideas, nosotros las elaboramos con nuestras expresiones occidentales que tenemos de ellas. Desde el principio nosotros diferenciamos, entre las matemáticas que son implícitas  y las que son explícitas, y  entre los  conceptos occidentales que nosotros usamos para describir o explicar y esos conceptos nosotros los atribuimos a la gente de otras Culturas." Marcia Ascher

Ante la falta de literatura y/o de otros autores que hubieran tocado en forma particular a lo que se nos ha ocurrido llamar “Etnogeometría” y considerando que nuestra idea tiene asidero, tanto implícita como explícitamente. Hemos creído conveniente crear, el concepto semánticamente, con la conjunción de Etno+Etnología+Geometría = Ethnogeometría. Como el "Estudio y conocimiento de la Geometría bajo el aspecto cultural de los pueblos comparando sus afinidades de antropología cultural o social y de los lazos de civilización que los caracteriza"

Además tomamos el sentido semiológico del concepto. Porque los códigos  que encierra la composición del nombre, se refieren al pueblo, a la gente de nuestros días, a nosotros ahora, por tanto se hace una práctica diaria de la aplicación geométrica en casi todos sus quehaceres.

Para aclarar aún más. Diremos que, cuando se da mayor importancia al aspecto biológico y natural aunado con el psíquico sociológico, etc., estos estudios caen dentro de la Antropología. Mas, si se comprenden en ellos, todos  los fenómenos  histórico-culturales, además  de los puramente naturales, se entra en la Etnología. Ampliando y flexibilizando nuestra visión. Por ejemplo, Etnología vendría a ser, cada reunión de los ICME4, donde nos congregamos centenares de personas de diferentes razas y nacionalidades que nos sentimos afines por la Matemática o su enseñanza, lo que en otras palabras es estudiar nuestra riqueza material y espiritual con respecto de la Matemática. Mas, sin pretender reuniones tan numerosas tenemos, las de cada día en nuestras comunidades y centros educativos, a los que asisten alumnos de diferentes etnias, pero con un fin común adquirir conocimientos. Esto implica que el mundo actual tiende a hermanar a los hombres de y en todos los confines de la Tierra, y está lejano el día en que se discutió en las universidades de Europa, el problema de sí los negros de Africa o los indios del Nuevo Mundo tenían alma y si eran realmente hombres.

Mientras en la Etnomatemática, los etnomatemáticos intentan describir el mundo matemático, como los otros lo ven. Ethnogeometría, no es el intento de describir, cómo, las ideas se ven a través de los otros. Muy al contrario. Fue y es la generadora no sólo de ideas que todos - etnomatemáticos o no - ven. Tiene una inmanencia permanente5. Es el material que inspira a la Etnomatemática, estudiar la historia a partir de la Geometría sea esta euclidiana o no- ecludiana.

La Etnogeometría da lugar a que "... la Etnomatemática...", pueda crear "... un puente entre la Matemática y las ideas (conceptos y prácticas) de otras Culturas." La universalidad de determinadas formas básicas que son parte de una Cultura también universal. Realizar, un estudio etnogeométrico podría ser de mucho mayor interés a los etnomatemáticos, porque partirían de realidades tangibles para luego realizar abstracciones (formular conceptos, o crear teoremas p.ej. sobre equicomposición de poliedros, al observar, los muros de las ruinas incaicas) con una nueva perspectiva. Tal estudio permitiría la posibilidad de matematizar los conceptos o prácticas dentro de una Cultura y, compararla con la otra Cultura, p.ej. que tienen de semejantes la forma de las viviendas de los Uruchipayas del Departamento de Oruro en Bolivia, con la de los africanos de Mozambique; quizá a primera vista diremos la forma cónica de los techos y el material que los cubre.

A partir de la Etnogeometría, el etnomatemático esta obligado a elucidar o aclarar no sólo los conceptos resultantes de las prácticas etnogeométricas, sino, a tomarlos como su material de trabajo para hacer que la Etnomatemática sea el nexo real con la Matemática, porque (como ya lo dijimos), la Etnogeometría, no sólo tiene fundamentos etnológicos, socio-antropológicos, más también, socio-culturales, que han sido y pueden seguir siendo aplicados, al aprendizaje de la Geometría, luego, a la práctica de la Etnomatemática y finalmente a la Matemática.

Por otro lado tomemos lo que dice Marcia Ascher. Que, las cosas las vemos con nuestros ojos occidentalizados, o sea que estamos condicionados a ver siempre bajo esa óptica y cuando alguien lo ve desde otra, nos llama la atención y parece ser incoherente. Eso es comprensible, pues, tantos siglos de academicismo nos han subyugado, que no le damos campo a nuestra mente para  pensar de otro modo, sin los  símbolos numéricos que representan abstracciones ( eso no implica que prescindamos de ellos). Y posiblemente esa sea la razón por la cual hayan aparecido detractores de la Etnomatemática, sin intentar comprenderla, como la nueva aurora para aprender y enseñar a la Matemática.

La Ethnogeometría es parte intrínseca de la vivencia diaria del hombre y su entorno natural, pues donde quiera que dirija su atención, a las ruinas de la civilización antigua Inca, "La Puerta del Sol"; las edificaciones de las urbes citadinas (arquitectura) como, la ciudad de Sucre -Bolivia- o, Lima - Perú -, con influencia, de otra cultura, sea francesa, hispana, etc., etc. Antes que Etnomatemática o Matemática. Verá Ethnogeometría y sólo después, Geometría y Matemática; lo mismo será, cuando perciba que una persona es diferente de otra por sus formas anatómicas, complexión física, estatura o color, además su vestimenta, distinta y variada de acuerdo al lugar geográfico en el que habite, con diseños tejidos o estampados en su mayor parte realizados con moldes de hojas, pétalos o tallados matriciales en madera, así como, otras representaciones bordadas en bajorrelieve con una policromía que muestra la riqueza espiritual de los artesanos. Aleatoriamente comparemos los kimonos de los campesinos japoneses, con la túnica o el sari de los hindúes. Las polleras de la chola de las ciudades andinas, que tienen forma arrepollada con la forma de cono truncado de la minifalda de las jóvenes   citadinas.   En   la   Naturaleza   misma   se   encuentra   con   expresiones geométricas  (nosotros  personas),  vemos  flores  de  formas poligonales  hojas cardiodes que inspiran coordenadas polares o helechos que generan fractales queluego son colocadas en losdiseños de las vestimentas, casas, etc.. En fin una riqueza espiritual y cultural (inclusive, ideológica por su aplicación), que nos hace admirar. En todas esas expresiones, no vemos ni percibimos inmediatamente ideas, símbolos ni conceptos matemáticos. Estas y éstos se presentarán después, mediante las abstracciones mentales que realicen, los interesados (matemáticos o estudiosos), es decir, se hará Etnomatemática y luego Matemática, partiendo de la Ethnogeometría.

Tenemos otros ejemplos, en los que, “forma, medida y cantidad” están en una simbiosis a primera vista inseparable. Tal el caso de la actividad comercial de los mercados, en los que, las vendedoras colocan sus productos formando montoncitos semejantes a ortoedros, pirámides truncadas o conos, donde. 2 montones (pirámides) de papa por 5 Bs, cuatro montoncitos (conos) de arvejas por 10 Bs. Las vendedoras del mercado pensarían primero en medidas académicas? Sólo, después de que toman conciencia de la forma del cuerpo y de otros aspectos singulares pueden realizar conclusiones de tipo cualitativo y cuantitativo referidas a medir, pesar, contar, comparar y calcular – si, es que, a estas actividades se les puede llamar Matemática. La vendedora del mercado cuando está formando sus “montoncitos” crea las formas que serán más atrayentes al posible comprador (etnogeometriza –si vale el término-), luego determina el valor que  tendrá  en  la  venta  el  montoncito,  a  montoncitos  más  grandes con  mayor  número  de unidades (papas, arvejas, frutas, etc.), menos ganancia y, a montoncitos más pequeños menos unidades implica más ganancia según sus costos, dicho de otro modo hace Etnomatemática. No se detiene a pensar si está aplicando un conocimiento académico curricular de Razones y Proporciones o de Reparto Proporcional. Estos, son ejemplos reales y actuales.Y ¿Qué podemos decir de los hombres primitivos, que aún no conocían la simbología numeral, cuando trazaron sus pinturas rupestres, luego cuando se hicieron sedentarios y comenzaron a tener noción del derecho de propiedad y el academicismo no había nacido aun? Sin tomar en cuenta, el tiempo, pero, la semejanza entre dos culturas.¿De dónde obtuvieron los Quichuas, el concepto de "Pachatupuy" (Geometría) cuya traducción literal es, Pacha = Tierra y, Tupuy = Medida? La tomarían de los egipcios? Pues, sabemos que ellos dan origen al nombre de "geometría" como resultado de su trabajo anual empírico, al parcelar o reparcelar las tierras aledañas al Nilo después de cada riada. Y como lo leímos, nos admira, toda esa maravilla construida con unos conocimientos básicos de Geometría y de Arquitectura y además con una unidad de medida arbitraria, como era el "codo del arquitecto". A priori podemos afirmar que, la concepción de las formas les obliga (sin ser totalmente empíricos), a crear ciertas unidades de medida y realizar operaciones en ese trabajo y no lo hacen partiendo de

hipótesis. Parten de lo que está en su entorno. Utilizan ese conocimiento y el que está, en ellos y con ellos mismos o sea la Ethnogeometría. Parecería que no teorizaron diciendo: "si la base es de n codos entonces la cúspide estará a n codos de altura". Dado que la pirámide para los egipcios no sólo es una tumba para el Faraón. Es la "luz que ilumina el camino", posiblemente dependiendo a qué Faraón iba destinada la pirámide, sería más alta y con menos o más galerías

En otras palabras el ver formas y reproducir formas, está, en él y con el hombre, sin importar la época en la que vive. Por esta observación llamamos parte intrínseca de la vida del hombre. Quizá haya otras maneras de explicarlo mejor y con otras palabras, luego, creemos que, es aquí donde la crítica ayudará a mejorar o retirar esta concepción nuestra proposición. Luego, desde el punto de vista etnogeométrico. Toda percepción, sea ésta real o de abstracción, es global.

¿Quién podría pensar, en la primera contemplación, en conceptos, reglas o axiomas matemáticos al visitar las pirámides Mayas; al contemplar desde el aire, las figuras petroglíficas del Valle de Nazca en el Perú? o las figuras zoomorfas de la Puerta del Sol en Tiwanaku?. ¿Quién piensa primero en las dimensiones o calcula cantidad de material, su valor, o el tiempo que tomará construir algún objeto? Por consiguiente no es Matemática ni Geometría pura lo que manipula el hombre en su diario vivir, al contemplar la belleza de la naturaleza. Es Ethnogeometría como una primera fase. Sin embargo (insistimos), no se queda con ese saber, aplica ese conocimiento y, hace Etnomatemática y finalmente Matemática.

EL TEOREMA MATEMÁTICO DE LA PUERTA DEL SOL

Al lado tenemos, una fracción de “La Puerta del Sol” en Tiwanaku. Y, luego la solución del teorema, presentado por Xavier Amaru Ruiz. Este es, el mejor ejemplo de lo que hasta ahora hemos estado preconizando, de que primero observamos las formas geométricas luego hacemos la matematización.

Y Amaru Ruiz nos dice: “Realizando un análisis lógico a los símbolos e ideogramas grabados en La Puerta del Sol y concentrándonos en el detalle de la aureola que rodea la cabeza del personaje central, notamos, que su planteamiento es sumamente interesante, porque demuestra ser un teorema lógico matemático, en el cual los números y figuras geométricas aparecen virtualmente de manera subliminal, ya que la aureola está rodeada de 18 pares de ganchos (triángulos) rotando en dos direcciones opuestas (18 hacia la derecha y 18 a la izquierda) y ambos convergiendo hacia el centro del cuadro, con una constante numeral de 36 (18+18).”

Sin proponérselo Xavier Amaru, hace Etnogeomnetría y Etnomatemática, pues, para el análisis del diseño, ha recurrido a la observación de la forma, “números y figuras geométricas”, pero, va más allá y, él indica: “La figura geométrica de la unificación es el cuadrado, cuya división geométrica da paso a la creación del rectángulo, el triángulo y el círculo. Para tener una constante de 36, sus lados son de valor 6. El área es igual a 36.” “Esta es una matriz simétrica numeral en la cual interaccionan números reales y virtuales, cuyo resultado es una ecuación”.Fig 2.

Al sumar consecutivamente los ocho elementos que constituyen el cuadrado:  1+2+3+4+5+6+7+8

=  36. Si se divide en dos rectángulos verticales, o sea en: “Hemisferio Izquierdo” (HI),

sumando 3+4+5+6 = 18; en el “Hemisferio Derecho” (HD), también se tiene 1+2+7+8 = 18

Con dos medianas y dos diagonales ha dividido en triángulos y que partiendo en forma irradiada desde el punto de intersección a la periferia resultan 8, siendo cada uno de 45°, luego 8 x 45° = 360°. La medida del círculo perfecto. Si sumamos verticalmente cada par de los valores asignados a los triángulos: 1+8, 2+7, 3+6, 4+5. El resultado siempre es 9. También da 9 la suma de las cifras significativas de 36 y 360. Y, si borramos todos los triángulos, sólo quedaría la aureola, luego tendríamos un vacío representado por el 0. En consecuencia hemos encontrado dos números virtuales.

LA APROXIMACIÓN DEL VALOR DEL PI ANDINO O PI MATEMÁTICO

Para encontrar una aproximación al valor de “pi”. El cuadrado mágico se ha dividido en dos partes, mediante una diagonal, tal como, lo muestran las figuras 3 y 4. Cada parte equivale a P/2 (medio “pi”), luego se han realizado estas operaciones: fig. 3.- 4+5+6+7=22, se divide entre 8+1+2+3=14, o sea 22/14=1.571428  y  fig.  4,  1+8+7+6=22,  se  divide

2+3+4+5=14, (1.571428). Si sumamos estos dos cocientes 1.571428+1.571428= 3.142856. Obtenemos el “Pi” andino o matemático con apenas 0.001256 de variación, a la aproximación geométrica de la relación constante entre el diámetro de una circunferencia y su longitud de 3,1416, que encontraron los griegos.

SIMBOLOS NUMERALES

El  trazado  de  los  ocho  triángulos  dentro  del  cuadrado

mágico, no sólo sirve para determinar: el cuadrado, triángulo, rectángulo, circunferencia o la aproximación de “pi”. Es una matriz simétrica para otros aspectos matemáticos entre los que tomamos a los símbolos numerales.

Al observar el gráfico podemos notar que:

Todos los numerales tienen la misma matriz.

Los numerales originales son de uno a cinco, los que siguen, son una imagen espejo.

Xavier Amaru refrenda nuestra observación indicando que: “al juntar los cinco numerales en un bloque se forma dicho cuadrado”. “...y es por este motivo que al sistema numeral tiawanakota se lo consideraba quinario, pero al desdoblarse, los cinco en imagen espejo se conforma la otra mitad”. Por tanto los numerales son 1,2,3,4,5,6,7,8 (reales), 0 y 9 (virtuales). Siendo Y según el mismo autor, una situación parecida de imagen espejo, se da en el sistema arábigo, por ej. Con los numerales 2  y 5;   6  y 9. Ambas observaciones nos llevan a colegir que existe una dualidad simétrica.